Анатолий Пискунов родился в 1947 году в Крымской области, тогда ещё входившей в РСФСР.
Окончил пединститут, по специальности учитель русского языка и литературы.
С 1986 года живёт и работает в Москве.
В 2006 году в московском издательстве «Зарницы» (Фонд им. И. Д. Сытина) вышел сборник стихотворений «И так недосягаем горизонт».
В 2008 году подборки его стихов опубликованы в коллективных сборниках «В мире цветов», «Любовь поют вам ангелы-поэты», «Времена года. Осень-2008», «Сокровенные струны души», «В царстве природы», в 2009 году — в литературном альманахе «Ковчег — Крым».
Участник IV Международного Гумилёвского поэтического фестиваля «Коктебельская весна 2009».
Лауреат Серебряного знака I степени «Во славу Крыма!» и диплома Республиканской Ассоциации работников литературы, культуры и искусства за 2009 год.